Question

求（arcsinx）/x在0到1上的定积分

Answer 1

先计算M=积分（从0到pi/2）lnsintdt
因为sint=2sintcost,lnsint=ln2+lnsin(t/2)+lncos(t/2)
故M=pi*ln2/2+积分（从0到pi/2）lnsin(t/2)dt+积分（从0到pi/2）lncos(t/2)dt t=2x
=pi*ln2/2+2积分（从0到pi/4）lnsinxdt+2积分（从0到pi/4）lncosxdx
对lncosx的积分做变量替换x=pi/2-t,易知其=积分（从pi/4到pi/2）lnsinxdx,因此
M=pi/2*ln2+2M,故M=--pi/2*ln2.
积分（从0到1）arcsinx/x dx=积分（从0到1）arcsinxd(lnx)
=arcsinx*lnx|上限1下限0--积分（从0到1）lnx/根号(1-x^2) dx
=--积分（从0到pi/2）lnsinx dx
=pi/2*ln2.