Question

已知a是实数,且方程x^2+2ax+1=0有两个不相等的实根,试判别方程x^2+2ax+1+2(a^2-1)(x^2-1)=0有无实根?

不要复制百度上的给我，那个我看不懂的，最好不要写的密密麻麻，看了就不想看。。。

Answer 1

因为X^2+2ax+1=0 所以x1不等于x2 Δ=(2a)^2-4>0 得出a^2>1 ①
x^2+2ax+1+2(a^2-1)(x^2-1)=0
展开再化简得 （2a^2-1）x^2+2ax-2a^2+3=0
可得Δ=4a^2-4(2a^2-1)(3-2a)
=16a^4-28a^2+12 ②
设a^2=A ③
则②式可化简为16A^2-28A+12
=(4A-3)(4A-4) ④
有①知 a^2>1 即 A=a^2 (③式设)>1
④式中4A>1 所以4A-3>1 4A-4>o 所以④式大于0
所以x^2+2ax+1+2(a^2-1)(x^2-1)=0的Δ>0 方程有两个不相等实根。

自己打的，不太习惯用^号，希望对你有用···O(∩_∩)O

追问

问一下，这个式子肿么来的？？

Answer 2

令g(x)=x^2+2ax+1=0的根为x1,x2,
因为x1x2=1, 两根同号，
即x1^2x2^2=1, 则必有其中一个x1^2>=1, 另一个x2^2<=1
令f(x)=x^2+2ax+1+2(a^2-1)(x^2-1)
则有：f(x1)f(x2)=2(a^2-1)^2(x1^2-1)(x2^2-1)<=0, 因此f(x)必有实根

Answer 3

设f(x)=x^2+2ax+1=0的根为x1,x2, 因为x1*x2=1, 所以两根同号，即x1^2*x2^2=1, 则必有其中一个x1^2>=1, 另一个x2^2<=1
又Δ=4a^2-4>0.得a^2-1>0
令g(x)=x^2+2ax+1+2(a^2-1)(x^2-1)
则g(x1)=0+ 2(a^2-1)(x1^2-1)>0,g(x2)=0+ 2(a^2-1)(x2^2-1)<0,所以g(x)图像过X轴，即g(x)有实根