Question

n维向量空间V中向量的维数是否为n维?

Answer 1

n维向量空间V中向量的维数是不为n维的，因为向量空间V中的元素都不一定是向量。有可能是多项式，有可能是数。

并且如果空间维数为n，则基向量的个数为n，从而元素的坐标由n个数组成，它构成一个n维向量，反之，一个n维向量，以此为坐标在给定的基下可以获得空间一个元素。故n维空间与n维向量集合之间一一对应，是同构的。

不过你要说 R^n 的一个子空间（维数 m < n），但里面的向量仍然用原来的基下的坐标来表示，那么这些向量就仍然可以叫 n 维向量。

当然如果你又给这个子空间找了一组基，把其中的向量用这组基下的坐标来表示，那这些向量就变成 m 维的了。

并且一个向量空间是n维的话说，那么，它里面的任何一个向量就都是n维的；如果你遇到的向量是n维的，那么，它所在的空间一定是一个n维的向量空间。

在一个n维的向量空间里绝不会存在不足n维的向量，再小得子空间里的向量也是n维的。子空间是啥。是不满秩的空间，不是降维的空间。