Question

矩阵合同是什么意思？

Answer 1

矩阵合同的意思：在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。两个矩阵A和B是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵 C，使得CTAC=B，则称方阵A合同于矩阵B。

一般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。

半正定二次型：

其对应的对称矩阵在实数域内可以合同到一个对角线元素只由0和1构成的对角矩阵。

一个二次型是半正定二次型，当且仅当它的正惯性指数等于它对应矩阵的秩。

正定二次型：其对应的对称矩阵在实数域内合同于单位阵。

一个n元二次型是正定二次型，当且仅当它的正惯性指数是n。正定二次型对应矩阵一定是可逆矩阵，且行列式大于0。

同样的可以定义半负定、负定和不定的二次型。