已知抛物线y^2=4x,斜率为k的直线l过抛物线的焦点F且交抛物线于,A,B两点,O为坐标原点,

设直线OA的斜率为K1,直线OB的斜率为K2(1)求证k1乘以k2为定值(2)求lk1l+lk2l的最小值... 设直线OA的斜率为K1,直线OB的斜率为K2
(1)求证k1乘以k2为定值
(2)求lk1l+lk2l的最小值
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继韫
2012-02-14 · TA获得超过997个赞
知道小有建树答主
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将y²=4x与过焦点的直线y=k(x-1)联立,
消去x,得,关于y的一元二次方程 : ky²-4y-4k=0 由韦达定理得 y1*y2=-4.
消去y,得,关于x的一元二次方程 : kx²-(2k²+4)x+k²=0, 由韦达定理得 X1*X2=1.
K1=Y1/X1, K2=Y2/X2, 所以K1*K2= Y1*Y2/X1*X2=-4(为定植)。
由不等式定理,当a>0,b>0时, 有 a+b ≥√(ab)(当且仅当a=b时取 "=").所以有:
∣K1∣+∣K2∣ ≥ 2√∣K1*K2∣=2√4=4.最小值是4。(当且仅当K1=-K2时取到最小值。)
注意:抛物线y²=2px,与过焦点的弦交点(X1,Y1),(X2,Y2),由韦达定理得出的结论:X1*X2=p²/4, Y1*Y2=-p².常用到,但要先证明。小题可以直接用。
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