已知抛物线y^2=2px,直线l斜率为k经过焦点f与抛物线交于A,B求1\AF+1\BF的值。
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设
抛物线
y²=2px(p>0),焦点坐标为F(p/2,0),A(x1,y1),B(x2,
y2
),
过点F的
直线方程
为x=my+(p/2),
代入y²=2px,得y²=2pmy-p²=0,∴y1y2=
-p²,
x1x2=(y1²/2p)
(y2²/2p)=p²/4.
由抛物线的定义可知,AF=x1+(p/2),BF=x2+(p/2),
∴1/AF+1/BF
=1/[
x1+(p/2)]+1/[
x2+(p/2)]
=(x1+x2+p)/[x1x2+p(x1+x2)/2+(p²/4)]
(通分化简)
将x1x2=
p²/4,x1+x2=AB-p,代入上式,得
1/AF+1/BF=AB/[(p²/4)+p(AB-p)/2+(p²/4)]=2/p,
即1/AF+1/BF=2/p.
抛物线
y²=2px(p>0),焦点坐标为F(p/2,0),A(x1,y1),B(x2,
y2
),
过点F的
直线方程
为x=my+(p/2),
代入y²=2px,得y²=2pmy-p²=0,∴y1y2=
-p²,
x1x2=(y1²/2p)
(y2²/2p)=p²/4.
由抛物线的定义可知,AF=x1+(p/2),BF=x2+(p/2),
∴1/AF+1/BF
=1/[
x1+(p/2)]+1/[
x2+(p/2)]
=(x1+x2+p)/[x1x2+p(x1+x2)/2+(p²/4)]
(通分化简)
将x1x2=
p²/4,x1+x2=AB-p,代入上式,得
1/AF+1/BF=AB/[(p²/4)+p(AB-p)/2+(p²/4)]=2/p,
即1/AF+1/BF=2/p.
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