Question

设二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（x-4）=f（2-x）且x≤f（x）≤0.5（1+x2）

设二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（x-4）=f（2-x）且x≤f（x）≤0.5（1+x2）
求f（1）的值及f（x）的解析式
求最大值m（m＞1）使得存在t属于R，只要x属于[1，m]就有f（x+t
最后的f（x+t）≤x

Answer 1

(1)令X=1，得1《=f（1）《=0.5（1+1）=1
即有f(1)=1。
由f（x-4）=f（2-x），得对称轴为x=-1,得b=2a,f(1)=a+2a+c=1,
由x≤f（x）≤0.5（1+x2）,利用判别式法，可解出来a=1/4, f(x)=1/4*x^2+1/2*x+1/4。

(2)可利用图像来解答，把F(x)看做f(x+t),对称轴为x=-(1+t),平移之后可以发现临界情况，与y=x左交点为x=1,
令F(1)=1,得t=0,t=-4,显然,t=0舍去。
此时F(x)=1/4*(x-3)^2,令F(x)=x
解出x=1,x=9
得出m最大为9。

希望对你有所帮助，错误的话请见谅，呵呵。