Question

已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1)，

已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点C(0,1)，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）
（1）求c的值；
（2）求a的取值范围；
（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记△PCD的面积为S1，△PAB的面积为S2，当0<a<1时，求证：S1- S2为常数，并求出该常数。

Answer 1

(1)将点C（0，1）代入y=ax2+bx+c 得 c=1
（2）由(1)知 ，将点A（1，0）代入y=ax2+bx+1得
a+b+1=0 ， ∴ b=-(a+1)
∴ 二次函数为 y=ax2-(a+1)x+1
∵二次函数为 的图像与x轴交于不同的两点
∴ ▷>0 ，而 ▷=(a-1)^2
∴ a 的取值范围是 a>0且a≠0
(3)证明： ∵0<a<1
∴ 对称轴为 x=(a+1)/2a>1
∴ AB=(1-a)/a
把y=1 代入 y=ax2-(a+1)x+1 得，解得x1=0 x2=(1+a)/a
∴ CD=(1+a)/a
∴ S1-S2=S▷PCD-S▷ACD-S▷ACB
＝1
∴ 为常数，这个常数为1。