Question

已知函数F(X)=（1-a/x）e^x（x＞0），其中e为自然对数的底数。①当a=2时，求曲线Y=F（x）在（1，f（1））

处的切线与坐标轴围成的面积。②若函数F(X)存在一个极大值和一个极小值点，且极大值和极小值的积为e^5，求a的值

Answer 1

1.
f(x)=[1-(a/x)]*e^x
则，f'(x)=[1-(a/x)]'*e^x+[1-(a/x)]*(e^x)'
=(a/x^2)*e^x+[1-(a/x)]*e^x
=[1-(a/x)+(a/x^2)]*e^x
=[(x^2-ax+a)/x^2]*e^x
所以，当a=2时，f'(x)=[(x^2-2x+2)/x^2]*e^x
则，f'(1)=e
且，f(1)=-e
所以，曲线在(1,f(1))处切线方程为：y-(-e)=e*(x-1)
===> y+e=e*(x-1)
那么，它与x轴的交点为(2,0)，它与y轴的交点为(0,-2e)
所以，切线与坐标轴围成的面积S=(1/2)*2*|-2e|=2e.

2.
由前面知，f'(x)=[(x^2-ax+a)/x^2]*e^x
=(x^2-ax+a)*(e^x/x^2)
已知f(x)有一个极大值点和一个极小值点【即f(x)有两个极值点】
则说明，f'(x)在x＞0时有两个相异实数根
令g(x)=x^2-ax+a，那么g(x)在x＞0时有两个相异实数根
假设在x1处取得极大值，在x2处取得极小值
则由一元二次方程根与系数的关系有：
x1+x2=a，x1*x2=a
而，f(x1)*f(x2)=e^5
===> [1-(a/x1)]*e^x1*[1-(a/x2)]*e^x2=e^5
===> [x1x2-a(x1+x2)+a^2]/(x1x2)*e^(x1+x2)=e^5
===> [(a-a^2+a^2)/a]*e^a=e^5
===> a=5.

Answer 2

他说的是对的，我做出来的结果也一样