Question

函数的奇偶性与对称轴有何联系？

Answer 1

奇偶性是从对称性中得来的，在学习奇偶性和对称性时注意要将两个性质结合在一起思考，在复习函数奇偶性的时候有两种情况很容易弄混：

例：若f(x)是偶函数，则f(-x-1)=f(x+1)还是f(x-1)?

若f(x+a)是偶函数，则f(x+a)=f(-x+a)还是f(-x-a)?

在对称性中，若满足f(x+a)=f(a-x)，则函数关于x=a对称，若函数是偶函数则函数关于x=0对称，即必须要满足f(x+0)=f(-x+0),因此若f(x)是偶函数。

若f(-x-1)=f(x+1),则函数关于x=0对称，满足偶函数的性质，若f(-x-1)=f(x-1),则函数关于x=-1对称，不满足偶函数的性质，因此可得结论：若f(x)是偶函数，则里面的东西变的时候要全部变成相反数，即f(x)是偶函数，则f(-x-1)=f(x+1)。

若f(x+a)是偶函数，若a为正数，则f(x+a)是函数f(x)向左平移a个单位之后得来的，f(x+a)关于x=0对称，则f(x)则关于x=a对称方可，根据对称性，f(x)需要满足f(x+a)=f(-x+a)。

f(x+a)是偶函数，若f(x+a)=f(-x+a)，则f(x)关于x=a对称，符合f(x)的性质。

若f(x+a)=f(-x-a)，则f(x)关于x=0对称，显然不符合题意，因此可得结论，若函数平移之后是偶函数，则里面变化的时候只改变x的符号，不改变常数的符号，即：f(x+a)是偶函数，若f(x+a)=f(-x+a)。

以上是通过对称性得到的，因此在学习复合函数奇偶性的时候需要掌握以下结论：

若f(x+a)是偶函数，则f(x)关于x=a对称，则f(x)满足f(x+a)=f(-x+a)。

若f(x+a)为奇函数，则f(x)关于(a,0)点对称，则f(x)满足f(x+a)=-f(-x+a)。