Question

求解这道微分方程x^2 y''+3xy'+y=0

我们老师说把x化成e^t这个关于T的函数，就可按常微分方程解

Answer 1

应当错了吧，应当是设y=e^t，这个叫欧拉型方程
你把y=e^t对其求导得
y'=e^t*t'
y''=e^t*t'+e^t*t''
代入微分方程得
x^2*e^t*t''+x^2*x^2*e^t*t'+3x*e^t*t'+e^t=0
约去e^t得
x^2*t''+(x^2+3x)*t'+1=0
你用那个特征根去解一下。

Answer 2

令y'=p
y"=p'
x^2p'-3xp+2p^2,这是伯努利方程
令p=1/q
p'=-1/q^2 q'
x^2(-1/q^2)q'-3x/q+2/q^2=0
化为一阶方程：q'+3q/x=2/x^2