Question

设f(x)是可导函数且f(0)=0,F(x)=∫t^(n-1)f(x^n-t^n)dt,求lim(x→+∞)F(x)/x^2n

设f(x)是可导函数，且f(0)=0,F(x)=∫t^(n-1)f(x^n-t^n)dt,求lim(x→+∞)F(x)/x^2n
答案是f'(0)/2n
求详解

Answer 1

题目应该是极限x趋向0。先用分部积分得到F(x)=∫[0-x]t^(2n-1)*f‘(x^n-t^n)dt，再换元后用L'Hospital法则
换元：u^n=x^n-t^n
F(x)=∫[0-x](x^n-u^n)*u^(n-1)*f'(u^n)du
连续用两次L'Hospital法则即可

Answer 2

你写的式子我看不太明白，但是我觉得肯定是用洛必达法则做的，你试一试！

Answer 3

用泰勒公式

追问

怎么用？

追答

不用，f'(0)跟t有关，而lim(x→+∞)F(x)/x^2n跟t无关的，so这题有毛病，不做也不会死人。