Question

已知函数f(x)=1/3x^3-1/2(a+1)x^2+ax. (1)若f(x)的极大值与极小值;

(2)设a>1,x>=0,若f(x)>-2/3a恒成立,求a的取值范围, 拜托各位了,第2问请详细一点,我这两天比较穷,就不悬赏了啊,请多帮忙,我真的急用

Answer 1

f'(x)=x²-(a+1)x+a=(x-a)(x-1)
(1)若a>1，则（-∞，1）递增，（1，a）递减，（a,+∞）递增，
所以极大值f(1)=1/3-1/2(a+1)+a=1/2a-1/6；极小值f(a)=1/3a³-1/2(a+1)a²+a²=-1/6a³+1/2a²；
若a<1，则（-∞，a）递增，（a，1）递减，（1,+∞）递增，
所以极小值f(1)=1/3-1/2(a+1)+a=1/2a-1/6；极大值f(a)=1/3a³-1/2(a+1)a²+a²=-1/6a³+1/2a²；
若a=1，则f'(x)≥0，所以(-∞，+∞)递增，无极大值和极小值；
(2)a>1时，在x≥0时f(x)>-2/3a恒成立，只需f(x)的最小值大于-2/3a即可。
因为[0，1）递增，（1，a）递减，（a,+∞）递增，极小值为f(a)=-1/6a³+1/2a²；f(0)=0
若1<a<3,f(a)>0，最小值为0，所以由0>-2/3a，所以a>0，结合条件得1<a<3；
若a≥3,f(a)<0，最小值为-1/6a³+1/2a²，所以-1/6a³+1/2a²>-2/3a，解得-1<a<4，结合条件得
3≤a<4.
综上所述，1<a<4