Question

设二重积分的积分区域D是1≤x²+y²≤4,则∫∫下D dxdy=

Answer 1

x=r *cosθ，y=r *sinθ
当然二者的平方就得到x²+y²=r²

所以(x²+y²)²=r^4，再乘上转换为极坐标所需的r，即为r^5

而题目给的条件是x²+y²≤1，
代入就得到r²≤1，所以r 的范围就是(0,1)

而此平面区域是一个完整的圆形，
角度的范围就是整个一个圆周，即θ属于(0,2π)
于是得到
∫∫ (x²+y²)² dxdy
=∫ (0,2π) dθ ∫(0,1) r^4 *r dr
=∫ (0,2π) dθ ∫(0,1) r^5 dr

Answer 2

∫∫dxdy=∫(1,2) rdr∫(0,2π) dθ=2π×(2²-1)/2=3π
明白吗？

Answer 3

解：∵1≦p≦2 0 ≤ φ≤2π
∵∫∫dxdy=∫∫pdpdφ＝∫﹙0,2π﹚dφ∫﹙1,2﹚pdp=∫﹙0,2π﹚[3／2]dφ=﹙3／2﹚×2π=3π

Answer 4

这不就是这个圆环的面积吗，直接4π-π=3π就行了