Question

1--2012中任意2个数之和不能被任意2个数之差整除得有多少？

Answer 1

应该是671个
因为要最多，所以从1开始取，首先可以肯定两个数间隔为1或者2都不可以，这个题的答案就是间隔为3取数，1 4 7 ......2012 一共671个数。
下面进行证明。
因为取得数都是除以3余1，所以任意两个数 3a + 1,3b+1 ，那么两个数的和3（a+b） + 2，肯定不能被3整除。
在看两个数的差 3（a - b）肯定是3的倍数，如果想要和可以整除差，那么和必须可以整除3，上面已经证明任意两个数的和不能整除3，所以任意两个数的和肯定不能整除两个数的差
所以这题的答案是每隔3取一个数，当然取的数不能整除3。
也可以2 5 8......2009 这样比 1 4 7 的少，所以最多的取法是 1 4 7 ... 共671个

Answer 2

设两数为a、b，且a＞b，求(a+b)不能被(a-b)整除
当任意两个数相邻时，(a-b)=1，显然(a-b)能整除(a+b)，排除；
当(a-b)=2时，a=b+2，(a+b)=2(b+1)，显然(a+b)/(a-b)=2(b+1)/2=(b+1)，也能整除，排除；
当(a-b)=3时，a=b+3，(a+b)/(a-b)=(2b+3)/3=2b/3+1，b不为3的倍数时，不能整除
∴当取1，4，7，……2011（an=3n-2）时，不能整除，有 3n-2=2011，n=671个
（或取2，5，8，……2012（bn=3n-1）时，不能整除，有 3n-1=2012，n=671个）

Answer 3

将1到2012分组，每3个连续的数一组，（1，2，3)…(3K+1，3K+2，3K+3)…(2011，2012)。则每组中的数不能重复取,所以取1，4，7，…，2011。最多671个，然后证明可取到此最大值。用手机纯手打，求采纳。