Question

设函数f(x)在【0，派】上连续，且∫f(x)dx =0,∫f(x)cosxdx =0 两个式子的积分上下限均为0到派

证明：在（0，派）内f(x)至少有两个零点
详细点 谢谢了

Answer 1

证明
记g(x)=∫(0~x)f(x)dx由于f(x)在[0,π]上连续,可知g(x)在[0,π]上可导
易知g(0)=g(π)=0
∫(0~π)f(x)cosxdx=∫(0~π)g'(x)cosxdx=∫(0~π)cosxdg(x)
=g(x)cosx|(0,π)+∫(0~π)g(x)sinxdx=∫(0~π)g(x)sinxdx=0......(*)
若在(0,π)内恒有g(x)sinx>0,则∫(0~π)g(x)sinxdx>0与(*)矛盾
若在(0,π)内恒有g(x)sinx<0,则∫(0~π)g(x)sinxdx<0与(*)矛盾
则必存在一点θ∈(0,π)使得g(θ)sinθ=0,注意到这里sinθ>0有g(θ)=0
对g(x)分别在[0,θ],[θ,π]上运用罗尔定理有
至少存在两点θ1∈(0,θ),θ2∈(θ,π)使得
g'(θ1)=g'(θ2)=0,又g'(x)=f(x)
即f(θ1)=f(θ2)=0,证毕.

Answer 2

很难啊。。慢慢证明吧