Question

连续与一致连续的区别

请举出几个连续但不一致连续的例子

Answer 1

一、区别如下：

1、范围不同

连续是局部性质,一般只对单点，而一致连续是整体性质，要对定义域上的某个子集。

2、连续性不同

一致连续的函数必连续，连续的未必一致连续。如果一个函数具有一致连续性则一定具有连续性，而函数具有连续性并不一定具有一致连续性。

3、图像区别

闭区间上连续的函数必一致连续，所以在闭区间上来讲二者是一致的；在开区间连续的未必一致连续，一致连续的函数图像不存在上升或者下降的坡度无限变陡的情况，连续的却有可能出现，比如在（0，1）上连续的函数y=1/x。

二、举例印证:

函数x^2在区间[0，无穷大）上不一致连续。

分析：可以取区间中两个数，s=n，t=n+1/2n，此时，t-s=1/2n1。

这就是说它们的函数值不能无限接近，根据一致连续的定义可知x^2在区间[0，无穷大）上不一致连续。

扩展资料：

一致连续函数的性质

1）设函数  在区间  和  上一致连续，若  ，则  在  上也一致连续；

2）若函数  都在区间I上一致连续，则  也在区间I上一致连续；

3）若  在有限区间I上一致连续，则  在I上有界；

4）若函数  都在有限区间I上的有界的一致连续函数，则  在区间I上也一致连续；

5）若  在定义域I上一致连续，其值域为U，  在U上一致连续，则  在I上一致连续。

Answer 2

连续是考察函数在一个点的性质。
而一致连续是考察函数在一个区间的性质。
所以一致连续比连续的条件要严格，在区间上一致连续的函数则一定连续，但连续的函数不一定一致连续。

通俗地讲，函数在区间上是一致连续的，说明这个函数在这个区间上，任意接近的两个自变量的函数也是任意接近的。从图形上看，就是不会产生陡然上升或下降的情况。（当然这样描述起来，至于他的“陡然”程度是模糊的）

例子:
函数x^2在区间[0，无穷大）上不一致连续。
分析：
可以取区间中两个数
s=n
t=n+1/2n
此时，t-s=1/2n<1/n，他们是可以曲线接近的
那么考虑t^2-s^2
t^2-s^2=(t-s)(t+s)=(1/2n)[2n+(1/2n)]>1
这就是说它们的函数值不能无限接近。
根据一致连续的定义可知x^2在区间[0，无穷大）上不一致连续。

Answer 3

连续的未必一致连续,1)上连续的函数y=1/。连续的却有可能出现一致连续的函数必连续。
闭区间上连续的函数必一致连续，所以在闭区间上来讲二者是一致的。
但在开区间连续的未必一致连续，通俗地讲，一致连续的函数图像不存在上升或者下降的坡度无限变陡的情况;

Answer 4

连续的未必一致连续,1)上连续的函数y=1/。连续的却有可能出现一致连续的函数必连续。

闭区间上连续的函数必一致连续，所以在闭区间上来讲二者是一致的。

但在开区间连续的未必一致连续，通俗地讲，一致连续的函数图像不存在上升或者下降的坡度无限变陡的情况;

Answer 5

对于欧式空间函数在有界闭集上连续也一致连续，例如f(x)=sin{x^2} x \in (-\infty,+\infty),内连续有界但不一致连续；又有f(x)=sin{\frac{\pi}{x}} x\in(0,1),f在(0,1)连续但不一致连续。