Question

想证明一个分段函数的连续性，是不是要看他的可导性，如题，该怎么求……谢谢

Answer 1

这题都出过多少次了。。详细解答如下：
首先，连续是连续，可导是可导，题目要你先证明连续性你就先证这个，凡事一步一步来不要跳。注意这里只需要证明函数在x=0点连续以及可导，只要证明这一点就够了，其他的点是不是连续，是不是可导我们根本就不关心。利用连续性、导数的定义还有题设条件就完了。

证明函数f(x)在x=0点的连续性只需要证明在x=0处极限值等于函数值。
亦即lim (x趋于0) phi(x)/x = f(0) = 1，因为此时x是“趋于”0，不是“等于”0，因此极限符号里面的f(x)的表达式必须套用x不为零那一段的函数值；(phi就是题目里的希腊字母，我的拼写是按照发音拼的，英语里ph发/f/的音，所以念作/fi/)。由于：
phi ' (0) = lim (x趋于0) [phi(x) - phi(0) ]/x （导数定义）
= lim (x趋于0) phi(x)/x （phi(0) = 0）
= 1 (题目给的，phi ' (0) =1)
于是，lim (x趋于0) phi(x)/x = 1，连续性证毕；
关于在x=0的可导性，还是根据定义，考察如下极限：
f'(0) = lim (x趋于0) [f(x) - f(0)]/x
= lim (x趋于0) [ phi (x)/x - 1]/x
注意到，当x趋于0时，分子分母都是趋于0的，因为我们刚才证明过了lim (x趋于0) phi(x)/x = 1。（所以我们必须循序渐进地先证明连续性再证明可导性，这里必须利用我们刚证明过的连续性）
由于是0/0不定式，加上phi(x)是二阶连续可导的，所以可以考虑用罗比达法则，
f'(0) = lim (x趋于0) [ phi ' (x) * x - phi(x)]/x^2 (^2为平方， * 为乘号)
这同样是一个0/0型，因为题目已知phi (0) = 0. 于是继续用一次罗比达法则，
f'(0) = lim (x趋于0) [ phi '' (x) * x + phi ' (x) - phi ' (x)] / (2x)
= lim (x趋于0) [ phi '' (x) * x ] / (2x) = lim (x趋于0) phi '' (x) / 2
由于函数phi '' (x)在x=0处连续（二阶连续导数），所以，
f'(0) = lim (x趋于0) phi '' (x) / 2 = phi '' (0) / 2
现在已经求出了导数，而且phi '' (0)是完全有定义的（说phi(x)在x=0有二阶连续导数就等于默认phi '' (0)是存在的），证毕。
如果题目继续告诉你phi '' (0)是多少，直接代入就能求f'(0) 了。
这题太老了，我读本科的时候对这个题印象非常深刻。考了好几次这个题。

Answer 2

看图，不懂在说把。