Question

p(x)为多项式，64（x--1）p(x)=(x--64)p(2x),求p(0)=? 求证p(2)=0，求p(x)多项式的次数？

Answer 1

令x=1，得0=（-63）*p(2)，因此p(2)=0。设p(x)=anx^n+a(n-1)x^(n-1)+...+a0，an不为0，则由条件得64(x-1)(anx^n+a(n-1)x^(n-1)+...+a0)=(x-64)(an*2^n*x^n+a(n-1)*2^(n-1)*x^(n-1)+...+a0)，比较等式两边x^(n+1)的系数得64an=an*2^n，n=6。p(0)可为任意不等于0的数。将x=2代入并利用p(2)=0得0=(2-64)p(4)，于是p(4)=0；再令x=4类似知p(8)=0，类推有p(16)=0，p(32)=0，p(64)=0，于是p(x)=an(x-2)(x-4)(x-8)(x-16)(x-32)(x-64)，其中an不为0。代入验证知道等式对任意的不为0的an成立。于是p(0)=an*(2^21)。