Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x-3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x-3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；
（3）试探究当ME取最大值时，在抛物线x轴下方是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．

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Answer 1

（1）直线解析式为y=-

1   

3   

x+2，令x=0，则y=2，

∴A（0，2），

∵抛物线y=-

1   

2   

x2+bx+c的图象过点A（0，2），E（-1，0），

∴

   2=c0=-12-b+c     

，

解得

   b=32c=2     

．

∴抛物线的解析式为：y=-

1   

2   

x2+

3   

2   

x+2． 

（2）∵直线y=-

1   

3   

x+2分别交x轴、y轴于点P、点A，

∴P（6，0），A（0，2），

∴OP=6，OA=2．

∵AC⊥AB，OA⊥OP，

∴Rt△OCA∽Rt△OPA，∴

OC   

OA   

=

OA   

OP   

，

∴OC=

OA2   

OP   

=

22   

6   

=

2   

3   

，

又C点在x轴负半轴上，

∴点C的坐标为C（-

2   

3   

，0）．

Answer 2

（1）根据直线公式可知坐标如下A(-1,0),C(0,-3),带入抛物线公式可得出b=-2，c=-3.所以 y=x^2-2x-3=(x-3)(x+1),所以B点坐标为（3,0）。
（2）由BC两点坐标可知，M在直线y=x-3上。ME长度最大等价于求x^2-2x-3-(x-3)在0<=x<=3范围内的最大值。化简一下可得x^2-3x,即求y=x^2-3x,在0-3范围内的最大值。可知当x=1.5是为最大值，带入公式可得出y=1.5*1.5-4.5=-2.25，所以ME最长为2.25.
(3) "在抛物线x轴下方"概念不清。如果是表示在抛物线ACB上的话则没有，因为如果为平行四边形，则BP平行于MF所以P点应该在x=3这条直线上，而直线x=3仅与抛物线ACB有一个交点B，所以没有这个满足题意的P点存在。

Answer 3

（1）直线y=-3x-3与x轴交于点A，与y轴交于点C，可求得A点的坐标为（-1，0）、C点的坐标为（0，-3），把A、C两点坐标值代入y=x^2+bx+c，解得b=-2，c=-3，所以抛物线的解析式为y=x^2-2x-3，点B坐标为（3，0）；
（2）直线BC的解析式求得为y=x-3，设M的坐标为（x，x-3），则E的坐标为（x，x^2-2x-3），所以ME=x-3-(x^2-2x-3)=(x-3/2)^2+9/4，所以ME的最大值为9/4；
（3）当ME取最大值时，M的坐标为（3/2，-3/2），F的坐标为（3/2，0），FB=3/2，抛物线的对称x=1，所以点M不在对称上，故在抛物线x轴下方不存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形。

Answer 4

3）答：不存在．
由（2）知ME取最大值时ME=9 4 ，E（3 2 ，-15 4 ），M（3 2 ，-3 2 ）
∴MF=3 2 ，BF=OB-OF=3 2 ．
设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，
则BP∥MF，BF∥PM．
∴P1（0，-3 2 ）或P2（3，-3 2 ）
当P1（0，-3 2 ）时，由（1）知y=x2-2x-3=-3≠-3 2∴P1不在抛物线上．
当P2（3，-3 2 ）时，由（1）知y=x2-2x-3=0≠-3 2
∴P2不在抛物线上．
综上所述：抛物线x轴下方不存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形．

Answer 5

解：
（1）直线y=-3x-3与x轴交于点A，与y轴交于点C，可求得A点的坐标为（-1，0）、C点的坐标为（0，-3），把A、C两点坐标值代入y=x^2+bx+c，解得b=-2，c=-3，所以抛物线的解析式为y=x^2-2x-3，点B坐标为（3，0）；
（2）直线BC的解析式求得为y=x-3，设M的坐标为（x，x-3），则E的坐标为（x，x^2-2x-3），所以ME=x-3-(x^2-2x-3)=(x-3/2)^2+9/4，所以ME的最大值为9/4；
（3）当ME取最大值时，M的坐标为（3/2，-3/2），F的坐标为（3/2，0），FB=3/2，抛物线的对称x=1，所以点M不在对称上，故在抛物线x轴下方不存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形。

追问

第（3）小题的答案看不懂，能不能麻烦说得更清楚些，O(∩_∩)O谢谢