Question

f(x)=-1/3x^3+1/2x^2+2ax 若f(x)在(2/3,正无穷大)上存在单调递增区间,求a的取值范围

第一问a的取值为什么不能取等号. 要详细解析.

Answer 1

当a=-2/9时f′（x）在[2/3，+∞）上的最大值为0，
即x∈[2/3，+∞）时f′（x）≤0，
所以f（x）在[2/3，+∞）恒为减函数，不存在增区间.

Answer 2

导数f'(x)= -x^2+x+2a f(x) (2/3，正无穷)上存在单调增区间 也就是：对于g(x)=x^2-x-2a 这个抛物线，在(2/3，正无穷)上存在x0使得g(x0)<0 可见x^2-x-2a =0必有二根且较大的根>2/3 设为x0,x1 由此得a>-1/9

Answer 3

因为导函数是开口向下的，对称轴要小于2/3。
导函数在2/3到正无穷是单调递减的函数。当取等号的时候在2/3到正无穷的导函数值都小于0，没有增区间了。
你画个图更清楚。

采纳把，做任务中。

Answer 4

因为2/9+2a在此区间上只是一个趋近于0的数，并不等于0！并且原题给的是2/3到正无穷的的开区间，而不是左闭右开区间，所以a不能等于-1/9.

Answer 5

取等其实也不影响，我们现在求的是区间，也就是确定单调性。因此，一个端点值上并不能反映出单调性，所以取或不取都算对，这在高考中一般不会死扣。