Question

数学分解因式

对于多项式x^3-5x^3+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现x^3-5x^2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式x-2（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x-2），于是我们可以把多项式写成：x^3-5x^2+x+10=（x-2）（x^2+mx+n）。

（1）求式子中m、n的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x^3-2x^2-13x-10的因式
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Answer 1

x³-5x²+x+10=(x-2)(x²+mx+n)
x³-5x²+x+10=x³+(m-2)x²+(n-2m)x-2n
m-2=-5
n-2m=1
-2n=10
解得n=-5 m=-3

x=-1时，x³-2x²-13x-10=-1-2+13-10=0
x+1是多项式的因式。
令x³-2x²-13x-10=(x+1)(x²+mx+n)
x³-2x²-13x-10=x³+(m+1)x²+(m+n)x+n
m+1=-2
m+n=-13
n=-10
解得
m=-3 n=-10
x³-2x²-13x-10=(x+1)(x²-3x-10)

Answer 2

（1）x^3-5x^2+x+10=x(x^2-5x+6)-5x+10=x(x-2)(x-3)-5(x-2)=(x-2)(x^2-3x-5)，所以m=-3，n=-5；
或者乘出来左边=x^3-5x^2+x+10，右边=x^3+(m-2)x^2+(n-2m)x-2n，则m-2=-5，n-2m=1，-2n=10，同样可以得到m=-3，n=-5。
（2）x^3-2x^2-13x-10，取x=-1时可以知道为0，则含x+1因式，可以分解为（x+1）（x^2-3x-10）可以进一步分解为(x+1)(x-5)(x+2)。
主要方法就是多试。