Question

设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当X<0时，f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,且g(-3)=0,则不等式

f(x)g(x)<0的解集是______________.(要详解，谢谢！）

Answer 1

此解答是有问题的：设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，则设F（x）=f （x）g（x）为定义在R上的奇函数，有F(0)=0,又g(-3)=0，所以F（-3）=f （-3）g（-3）=0，又当X<0时，f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0，故当X<0时F(x)，单调递增，这与F(0)=F(-3)=0矛盾。

Answer 2

设F（x）=f （x）g（x），当x＜0时，
∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．
∴F（x）在R上为增函数．
∵F（-x）=f （-x）g （-x）=-f （x）•g （x）．=-F（x）．
故F（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．
∴F（x）在R+上亦为增函数．
已知g（-3）=0，必有F（-3）=F（3）=0．
构造如图的F（x）的图象，可知
F（x）＜0的解集为x∈（-∞，-3）∪（0，3）．

Answer 3

f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,则，f(x)g(x)在R上为奇函数，
当X=0时，f(x)g(x)=f(0)g(0)=0
当X<0时，[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,则有，f(x)g(x)在（-∞,0)上为增函数，
又f(-3)g(-3)=0，所以，f(x)g(x)<0在（-∞,0)上的解为：（-∞,-3).
当x>0时，f(x)g(x)在（-∞,0)上为增函数，f(x)g(x)在R上为奇函数，
推出：f(x)g(x)在（0，+∞)上为增函数。
又f(3)g(3)=[-f(-3)][-g(-3)]=0.所以，f(x)g(x)<0在（0,+∞)上的解为：（0,3).
所以，f(x)g(x)<0在R上的解为：：（-∞,-3)∪（0,3).

Answer 4

不是具体函数无法画图，但这是一个大致走势的图

Answer 5

奇函数乘偶函数的奇函数