Question

已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2^x,若不等式af(x)+g(2x)≥0对x∈(0,1]恒成立,

则实数a的取值范围是

Answer 1

重点难点分析：
1．不能把一个完整的单调区间随意分成两个区间，例如y=3x的单调区间(-∞,+∞)不可以写成(-∞,0]
和[0,+∞)，也不能把本来不是一个区间的单调区间合起来。例如y= 的单调递减区间是(-∞,0)和(0,
+∞)，而不能写成x∈R且x≠0。
2．设y=f(u),u=g(x)，复合函数y=f[g(x)]的增减性有下面二种情况：
（1）若u=g(x), y=f(u)在所讨论区间上都是递增或递减的，则y=f[g(x)]在该区间上为增函数。
（2）若u=g(x), y=f(u)，在所讨论区间上一个是递增的,另一个是递减的,则y=f[g(x)]在该区间上为
减函数。
3．奇函数或偶函数都是定义在关于原点对称区间上的函数，且等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是定义在
对称区间上的恒等式，而不是只对自变量的部分值成立的方程，所以，只要出现以下两种情况之一，函数就
不是偶函数或奇函数：
（1）定义域不是关于原点对称的区间
（2）f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)不是定义在定义域上的恒等式。
典型例题：
例1．求y=loga(-2x2+x+3)的递减区间
解：令u=-2x2+x+30得定义域为(-1,),
∵ u=-2(x-)2+3 , x∈(-1, ),
当x∈(-1, ]时，u=-2x2+x+3为增函数，
当x∈[ ,)时，u=-2x2+x+3为减函数。
（1）如果a1，则y=logau为增函数， y=loga(-2x2+x+3)的递减区间为[ ,)。
（2）如果0a1，则y=logau为减函数，y=loga(-2x2+x+3)的递减区间为(-1, ]。
例2．试讨论y=x+(a0)在区间(0,+∞)上的单调性，并证明。
解：任取x1, x2∈(0,+∞)且x1x2。
f(x1)-f(x2)=(x1+ )-(x2+)=(x1-x2)+( - )
=(x1-x2)+=(x1-x2)(1- ).........(*)
∵ x1x2, ∴ x1-x20。
(1)当x1,x2∈(0, ]时，0x1x2a, 1,1- 0,
此时(*)0，f(x1)f(x2), f(x)在(0,]上是减函数。
(2) 当x1, x2∈[ ,+∞)时，x1x2a, 01,
1- 0，此时(*)0, f(x1)f(x2), f(x)在[,+∞)上是增函数。
注：∵ x0,a0, 根据均值不等式 ∴ x+ ，当且仅当x= 时取等号，即y最小。所以在x=
时函数图像是最低的，即函数图像从左向右是先降后升的，转折点是x=，可以自己画出函数草图。
例3．求y=cos(-2x)递增区间。
解：方法(1) 设u=-2x, y=cosu,
∵ u=-2x+为减函数，∴ 只需求y=cosu的递减区间，
2kπ≤-2x≤π+2kπ (k∈Z)
2kπ-≤-2x≤ +2kπ
-kπ+ ≥x≥--kπ。
∵ -k与k等效， ∴ kπ-≤x≤kπ+ 。
图示：

方法(2)，∵ cosu为偶函数， ∴ y=cos(2x-) u=2x- 为增函数。
∴ 只需求y=cosu递减区间，
2kπ+π≤2x-≤2kπ+2π
2kπ+ ≤2x≤2kπ+
kπ+≤x≤kπ+ 。
图示：

说明：形式不同，但区间相同。但更多是用方法(2)，容易理解并且不易出错。
例4．定义在(-2,2)上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)单调递减，若g(1-m)g(m)求实数m的取值范围。
解：∵ g(x)为偶函数，∴ g(-x)=g(x)，对于x∈(-2，2)，g(-x)=g(x)=g(|x|)，
g(1-m)g(m)g(|1-m|)g(|m|)
由已知得：
(1): -1m3。
(3): (1-m)2m2
m
∴ -1m
例5．设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在(2,3)上f(x)=-2(x-3)2+4。求当x∈(1,2)时f(x)的
解析式。
解：当-3≤x≤-2时2≤-x≤3，∵ f(x)为偶函数，
f(x)=f(-x)=-2[(-x)-3]2+4=-2(x+3)2+4
当1≤x≤2时， -3≤x-4≤-2
f(x)=f(x-4)=-2[(x-4)+3]2+4=-2(x-1)2+4。
例6．已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，x0时，f(x)=x-lg|x|，当x0时，求f(x)解析式。
解：当x0时，-x0，∵ f(x)奇函数，
∴ f(x)=-f(-x)
=-[(-x)-lg|-x|]
=-(-x-lg|x|)
=x+lg|x|。
本周练习：
一填空题：
1．函数y=(-x2+2x+3)单调递增区间是________。
2．函数f(x)=()|1-x|的单调递减区间是_________。
3．f(x)是定义在[-2，2]上的奇函数,且为减函数,若不等式f(2-a)+f(2a-3)0成立,则实数a的范围是____。
二、解答题：
1．函数f(x+1)是偶函数，且x1时f(x)=x2+1, 求x1时，f(x)的表达式。
2．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，并且在区间(-∞,0)上单调递增，f(2a2+a+1)f(3a2-2a+1)，求实
数a的取值范围，使函数y=在这个范围上是单调递减函数。
参考答案：
一、填空题
1. [1,3) 2. [1, +∞) 3. 1a≤
二、解答题
1.解：∵ f(x+1)为偶函数， ∴ f(-x+1)=f(x+1),
∴ f(x)=f(2-x), 当x1时，2-x1,
∴ f(2-x)=(2-x)2+1=x2-4x+5,
即当x1时，f(x)=x2-4x+5。
2．解：∵ f(x)是R上的偶函数，且在(-∞,0)上单调递增，
∴ f(x)在(0,+∞)上单调递减， ∵ 2a2+a+1=2(a+)2+ 0,
3a2-2a+1=3(a-)2+ 0
f(2a2+a+1)f(3a2-2a+1)
∴ 2a2+a+13a2-2a+1
∴ a2-3a0
a(a-3)0
0a3。
又∵ y=()x为减函数，
∴ 要使 为减函数，需a的取值范围使a2-3a+1为增函数，即a≥。
综上得：≤a3。

Answer 2

f(x)+g(x)=2^x,……①
f(-x)+g(-x)=2^(-x),
因为奇函数f(x)和偶函数g(x)，所以上式可化为：
- f(x)+g(x)= 2^(-x),……②
①＋②得：g(x)=1/2[2^x+2^(-x)]
①-②得：f(x)= 1/2[2^x-2^(-x)]
不等式af(x)+g(2x)≥0可化为：
a•1/2[2^x-2^(-x)]+ 1/2[2^(2x)+2^(-2x)] ≥0,
a[2^x-2^(-x)]+ [2^(2x)+2^(-2x)] ≥0,
设2^x-2^(-x)=t,
两边平方得：2^(2x)-2+2^(-2x)=t²，
2^(2x)+2^(-2x)=t²+2，
所以上式可化为：at+ t²+2≥0,
t=2^x-2^(-x)在x∈(0,1]时是增函数，t∈(0,3/2].
∴a≥-(t+2/t),
t+2/t≥2√2(t=√2时取等号), -(t+2/t)≤-2√2.
所以a≥-2√2.
所以不等式af(x)+g(2x)≥0对x∈(0,1]恒成立时,
实数a的取值范围是[-2√2,+∞）.