初中数学:圆的切线解答题
如图,PA、PB分别切圆O于A、B,连结AB、AD、BD,求证AD、BD分别平分角PAB、角PBA。...
如图,PA、PB分别切圆O于A、B,连结AB、AD、BD,求证AD、BD分别平分角PAB、角PBA。
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解连接OA OB
角OAP=∠OBP=90
又因为PO=PO
OA=OD
所以△OAP≌△OPB
所以AP=PB
所以△APB是等腰三角形
又因为∠APO=∠OPB
三线合一的 PF(设PO交AB于F)为中垂线
所以角PFA=90
过D作AP垂线DH
因为OA=OD
所以∠OAD=∠ODA
又因为DH平行OA(都垂直于AP)
所以∠OAD=∠HDA (内错角)
∠OAD=∠ODA
所以∠ODA=∠HDA
又因为 AD=AD
∠DFA=∠DHA
所以△ADF≌△ADH
所以∠OAD=∠DAP
所以AD为∠PAO平分线
同理BD为∠PBO平分线
角OAP=∠OBP=90
又因为PO=PO
OA=OD
所以△OAP≌△OPB
所以AP=PB
所以△APB是等腰三角形
又因为∠APO=∠OPB
三线合一的 PF(设PO交AB于F)为中垂线
所以角PFA=90
过D作AP垂线DH
因为OA=OD
所以∠OAD=∠ODA
又因为DH平行OA(都垂直于AP)
所以∠OAD=∠HDA (内错角)
∠OAD=∠ODA
所以∠ODA=∠HDA
又因为 AD=AD
∠DFA=∠DHA
所以△ADF≌△ADH
所以∠OAD=∠DAP
所以AD为∠PAO平分线
同理BD为∠PBO平分线
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连接AO延长至C连接CD
所以角ADC=90
所以角DAC+C=90
因为PA是切线
所以角PAC=90
角PAD+DAC=90
所以PAD=角C
PA PB是切线
PA=PB PO是平分线
AD=BD(全等可证)
角DAB=角DBA
因为角DBA=C(同弧)
所以PAD=DAB
即平分
同理可证
所以角ADC=90
所以角DAC+C=90
因为PA是切线
所以角PAC=90
角PAD+DAC=90
所以PAD=角C
PA PB是切线
PA=PB PO是平分线
AD=BD(全等可证)
角DAB=角DBA
因为角DBA=C(同弧)
所以PAD=DAB
即平分
同理可证
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