Question

已知函数f(x)=1/3x^3-(2a+1)x^2+3a(a+2)x+1,a∈R

（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程;
（2）当a=-1时，求函数y=f（x）在[0,4]上的最大值和最小值；
（3）当函数y=f＇（x）在（0,4）上有唯一的零点时，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：
先对函数求导：
f'(x) = x^2 - 2(2a+1) x + 3a(a+2) = (x - 3a)(x - a - 2) (直接先因式分解)
（1）a = 0时，f(3) = 3^3/3 - 3^2 + 1 = 1。
切线的斜率就是导数的数值，因此切线斜率为f'(3) = 3*(3-2) = 3.
所以切线方程的点斜式为 y - 1 = 3(x-3)，y = 3x - 8；
（2）a = -1时，先求f'(x) = 0的解，根据上面的因式分解，两个解分别为：
x1 = 3a = -3，x2 = a + 2 = 1。其中x1不在区间[0, 4]上，所以函数仅有一个极值点。
由于当0 < x < x2时，f'(x) < 0（因为此时-3 < x < 1），函数单调递减；
当x > x2时，f'(x) > 0，函数单调递增；
所以函数在x = x2 = 1处取最小值，最小值为f(1) = -2/3；
最大值需要比较函数在两端点的数值，由于f(0) = 1，f(4) = 79/3，所以最大值为79/3；
（3）由于f'(x) = x^2 - 2(2a+1) x + 3a(a+2) = (x - 3a)(x - a - 2)，
它的一个零点是3a，另一个零点是a+2，但是我们并不知道哪个零点大，所以必须分三种情况讨论：
第一，如果3a = a+2，即a = 1，那么函数只有唯一的零点x=3，正好位于（0,4）内，所以是符合条件的；
第二，如果3a < a+2，那么如果要求f'(x)在(0,4)上只有一个零点，就必须是
要么0 < 3a < 4 <= a+2，要么3a <= 0 < a+2 < 4。
第一种情况下要求0<a<4/3，以及a>=2，显然矛盾，排除；
第二种情况下要求-2 < a <=0，注意到这个解集包含在3a < a+2的解集里，所以此时a的取值范围是：-2 < a <=0；
第三，如果3a > a+2，那么同理，
要么0 < a+2 < 4 <= 3a，要么a+2 <= 0 < 3a < 4。
第一种情况下要求4/3 <=a<2，它与3a > a+2解集的交集为4/3 <=a<2；
第二种情况下要求a<=-2同时又要求a>0，矛盾，故排除。

综上所述，最后a可以取的范围是所有解集的并集：
a=1或-2 < a <=0或4/3 <=a<2。解毕。

Answer 2

1.求导可得f'(x)=x^2-(4a+2)x+3a(a+2)
代入a=0
f'(x)=x^2-2x,f(x)=(1/3)x^3-x^2+1
得切线为y=3x-8
2.代入a=-1,得f'(x)=x^2+2x-3=0时，x=-3或1
当0<=x<=1时,f'(x)<=0,f(x)减，当1<x<=4时，f'(x)增
故极小值为f(1)=-2/3，因为区间内只有这一个极小值，故其为最小值
最大值必在两端取得，f(0)=1,f(4)=79/3
显然，最大值为79/3,最小值-2/3
3.f'(x)=x^2-(4a+2)x+3a(a+2)
首先考虑德尔塔=0的情况，得a=1，检验，满足条件
下面则
若在（0,4）上有唯一的零点，列出不等式f’(0)*f‘(4）<0
解得-2<a<0或4/3<a<2
综合：-2<a<0或4/3<a<2或a=1
这道题第三问并不适合用解根法去解答，因为要比较两根大小，较为繁琐，希望可以帮到你

Answer 3

已知函数f(x)=1/3x^3-(2a+1)x^2+3a(a+2)x+1,a∈Rv

Answer 4

不懂