Question

已知点P(0,5)及圆C;x²+y²+4x-12y+24=0若直线l过P且被圆C截得的线段长4根号3，求l的方程

Answer 1

圆C的方程化为标准形式为
(x+2)²+(y-6)²=16
C点坐标为(-2,6),圆C的半径为4
将P(0,5)代入圆C的方程可以得到5<16,从而可知P在圆内
又因为直线l截得的弦长为4√3<8,因此这样的直线存在两条,且关于直线PC对称.
从而过P的直线与圆C一定有两个交点.
设两个交点坐标分别为M(x1,y1), N(x2,y2)
当过P点的直线为x=0时,代入圆C的方程得
4+(y-6)²=16
即 y²-12y+24=0
|MN|=|y1-y2|=√[(y1+y2)²-4y1y2]=√[(-12)²-4*24]=√(48)=4√3
因此x=0为适合题意的直线中的一条.
直线PC的方程为(y-6)/(5-6)=(x+2)/(0+2)
即 x+2y-10=0
在直线x=0上任取非P的一点R(0,0)
设R关于直线PC的对称点坐标为(m,n)
则显然有(m/2)+2(n/2)-10=0 //两点的中点在对称轴上
又 (n-0)/(m-0)=2 //两点所在直线与对称轴垂直,斜率之积为-1
解之得 m=4 n=8
所以PR的方程为 (y-8)/(5-8)=(x-4)/(0-4)
即 3x-4y+20=0
从而直线l的方程为x=0 或者3x-4y+20=0

本题也可以直接设所求直线方程为y=kx+5,然后代入圆的方程求解,最后一样能够解出k值,那样相对来说,计算量稍大一些.上面的方法主要是用到了两条直线关于过OP两点的直径对称.

Answer 2

见图。