Question

两个现行无关的等价的向量组必含有相同个数的向量,如何证?

线性,用定理3.5的替换定理可以容易得到。
s<=t的同时t<=s

Answer 1

用极大无关组或者矩阵的秩也可以证明的，虽然在教材上，这两个东西比这个定理后出现。
证明：
设有两个线性无关的向量组（a1,a2, ..., as）和（b1,b2, ... , bt），它们是等价的。
利用反正法，假设s不等于t，那么不妨设s<t。现在我们考察如下向量组的极大无关组：
（a1,a2, ..., as, b1,b2, ... , bt）
如果从左边开始数起，那么该向量组的极大无关组的个数就是s，因为从b1开始，和前面s个向量都是线性相关的；同理，如果从右边数起，那么极大无关组的个数就是t。由于极大无关组的个数是唯一的，因此s必然等于t，而这和我们的假设s<t是矛盾的。同理也可以说明s>t是不可能的。因此s=t。证毕。（用上述组合向量组形成的矩阵的列秩的唯一性也是可以证的，一样的道理）