Question

怎么判断函数f(x)在x=0处连续呢？

Answer 1

当说函数 f(x) 在 x = 0 处连续时，意味着函数在 x = 0 的点上没有跳跃、断裂或间断，并且可以通过 x = 0 的点进行平滑的连接。

具体来说，当函数 f(x) 在 x = 0 处连续时，以下三个条件需要同时满足：

• f(0) 存在：函数在 x = 0 处有定义，即 f(0) 有一个确定的实数值。

• 左极限和右极限存在：函数在 x = 0 的左侧极限和右侧极限都存在，即 lim┬(x→0⁻) f(x) 和 lim┬(x→0⁺) f(x) 都存在。

• 极限等于函数值：函数在 x = 0 的左侧极限和右侧极限都等于函数在 x = 0 处的函数值，即 lim┬(x→0⁻) f(x) = lim┬(x→0⁺) f(x) = f(0)。

这三个条件的满足表明函数 f(x) 在 x = 0 处没有间断、跳跃或断裂，并且可以在 x = 0 的点上平滑地绘制连续的曲线。

连续性是函数的重要性质之一，它保证了函数在给定点上的光滑性和连贯性，使得我们可以在该点进行进一步的分析和推导。

Answer 2

要判断一个函数在 x = 0 处是否连续，需要满足以下条件：

1. 函数在 x = 0 处有定义：函数在该点的定义域中包含 x = 0。

2. 函数在 x = 0 处存在：函数在 x = 0 处有定义。

3. 函数在 x = 0 处的左极限和右极限存在并相等：记左极限为 lim(x0-) f(x) 和右极限为 lim(x0+) f(x)，如果这两个极限都存在且相等，即 lim(x0-) f(x) = lim(x0+) f(x)，那么函数在 x = 0 处的极限存在。

4. 函数在 x = 0 处的极限等于函数在 x = 0 处的值：如果函数在 x = 0 处的极限存在，并且 lim(x0) f(x) = f(0)，那么函数在 x = 0 处是连续的。

如果以上四个条件都满足，那么函数在 x = 0 处是连续的。