Question

已知4x²➕5y²=1,求3x²➕2xy➕y²的取值范围?

Answer 1

我们已知方程为：
$$4x^2 + 5y^2 = 1$$
要求表达式的取值范围：

$$3x^2 + 2xy + y^2$$
首先，我们可以将第一个方程除以右边常数，得到标准的椭圆方程：

$$\frac{4x^2}{1} + \frac{5y^2}{1} = 1$$
然后，将第二个方程改写为：

$$3x^2 + 2xy + y^2 = (2x + y)^2 + x^2$$
现在，我们将关注这个新的表达式 $(2x + y)^2 + x^2$。由于 $(2x + y)^2$ 和 $x^2$ 都是非负数，所以这个表达式的最小值是 0。

综上所述，$3x^2 + 2xy + y^2$ 的取值范围大于等于 0。因此，它的取值范围是非负实数，即 $[0, +\infty)$。