Question

已知ab不等于0，求证a+b=1：的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0

Answer 1

a³+b³+ab-a²-b²=(a+b-1)(a²-ab+b²)

如果a+b=1则上式=0；符合必要条件
如果a³+b³+ab-a²-b²=0
则(a+b-1)(a²-ab+b²)=0
因为ab≠0
所以：a²-ab+b²>0;
则必有a+b-1=0;得：a+b=1；符合充分条件

Answer 2

原式可化为 (a+b) (a^2-ab+b^2)-(a^2-ab+b^2)=0
(a+b-1)(a^2-ab+b^2)=0
而 (a-b)^2≥0 所以a^2+b^2≥2ab 所以这项(a^2-ab+b^2)≥ab 因为ab不等于0 所以这项不等于0.
所以只能是(a+b-1)这项=0 所以a+b=1
得证

Answer 3

a^3+^3+ab-a^2-b^2=0可化为
(a+b)(a^2-ab+b^2)+ab-a^2-b^2=0,
(a+b-1)(a^2-ab+b^2)=0,
(a+b-1)*(1/2)*[a^2+b^2+(a-b)^2]=0,
∵ab≠0，∴a≠、b≠0，∴a^2+b^2+(a-b)^2＞0
所以a+b-1=0，即a+b=1，得证