Question

已知函数f(x)=1/2（ax^2）+2x-lnx(a≠0) (1)当a=3时,求函数f(x)的单调区间

（2）若f（x）存在单调增区间，求a的取值范围

Answer 1

f(x)=(1/2)ax^2+2x-lnx(x>0)。
(1)a=3，则f'(x)=3x+2-1/x=(3x^2+2x-1)/x=(x+1)(3x-1)/x。
函数f(x)的递减区间是(0,1/3)，递增区间是(1/3,+无穷)。
(2)f'(x)=ax+2-1/x=(ax^2+2x-1)/x。
a>=0时符合题意。
a<0时，ax^2+2x-1的判别式=4+4a>0，a>-1。
此时ax^2+2x-1=0的两根之积为-1/a>0，两根之和为-2/a>0，即存在正根，f(x)存在增区间。
所以，a的取值范围是(-1,+无穷)。

Answer 2

已知函数f(x)=1/2（ax^2）+2x-lnx(a≠0) (1)当a=3时,求函数f(x)的单调区间dv