已知函数f(x)=1/2(ax^2)+2x-lnx(a≠0) (1)当a=3时,求函数f(x)的单调区间
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f(x)=(1/2)ax^2+2x-lnx(x>0)。
(1)a=3,则f'(x)=3x+2-1/x=(3x^2+2x-1)/x=(x+1)(3x-1)/x。
函数f(x)的递减区间是(0,1/3),递增区间是(1/3,+无穷)。
(2)f'(x)=ax+2-1/x=(ax^2+2x-1)/x。
a>=0时符合题意。
a<0时,ax^2+2x-1的判别式=4+4a>0,a>-1。
此时ax^2+2x-1=0的两根之积为-1/a>0,两根之和为-2/a>0,即存在正根,f(x)存在增区间。
所以,a的取值范围是(-1,+无穷)。
(1)a=3,则f'(x)=3x+2-1/x=(3x^2+2x-1)/x=(x+1)(3x-1)/x。
函数f(x)的递减区间是(0,1/3),递增区间是(1/3,+无穷)。
(2)f'(x)=ax+2-1/x=(ax^2+2x-1)/x。
a>=0时符合题意。
a<0时,ax^2+2x-1的判别式=4+4a>0,a>-1。
此时ax^2+2x-1=0的两根之积为-1/a>0,两根之和为-2/a>0,即存在正根,f(x)存在增区间。
所以,a的取值范围是(-1,+无穷)。
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