Question

已知函数f(x)=ax2+bx+c，其中a∈N*，b∈N，c∈Z

（1）若b>2a且f(sinx) (x∈R)的最大值为2，最小值为－4求fx解析式

Answer 1

解：（1）据题意得sinx∈[-1，1]时，f（x）max=2，f（x）min=-4，
f(x)=a(x+b2a)2+c-b2/4a，(配成顶点式)
∵b＞2a＞0，∴-b/2a＜-1，
∴f（x）在[-1，1]上递增，
∴f（x）min=f（-1），f（x）max=f（1），
∴{a+b+c=2a-b+c=-4，∴b=3，a+c=-1，
∵b＞2a，∴a＜3/2，又a∈N*，∴a=1，∴c=-2，
∴f(x)=x2+3x-2=(x+3/2)2-17/4，

Answer 2

已知函数f（x）=ax2+bx+c，其中a∈N*，b∈N，c∈Z．
（1）若b＞2a，且f（sinα）（α∈R）的最大值为2，最小值为-4，求f（x）的最小值；
（2）若对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x2+1），且存在x0使得f（x0）＜2（x02+1）成立，求c的值．

（1）a∈N*，b∈N，b>2a
∴f(x)=ax^2+bx+c(-1<=x<=1)↑，
∴f(sinx) (x∈R)的最大值为f(1)=a+b+c=2，①
最小值为f(-1)=a-b+c=－4②
[①-②]/2,b=3.
由b>2a知a=1,
代入①，c=-2.
∴f(x)=x^2+3x-2=(x+3/2)^2-17/4,
∴f(x)的最小值是-17/4.
（2）对任意实数x，不等式4x≤f(x)≤2(x^2+1)恒成立，
∴f(1)=a+b+c=4.b=4-a-c.
ax^2-(a+c)x+c>=0,
∴△=（a+c)^2-4ac=(a-c)^2<=0,
∴a=c.
又存在x0使得f(x0)<2(x0^2+1)成立，
即cx0^2+(4-2c)x0+c<2(x0^2+1),
(c-2)x0^2+(4-2c)x0+c-2<0,
(c-2)(x0-1)^2<0,
∴c<2,
由c=a∈N*,知
c=1.