Question

一个关于偏导数的问题

二元函数f(x,y) :
当(x,y)≠(0,0)时f(x,y)=(xy)/(x^2+y^2)
当(x,y)=(0,0)时f(x,y)=0
问在点(0,0)处f(x,y)是否连续,偏导数是否存在? 请说明原因,谢谢!

注:^表示次方...x^2即表示x的二次方
二元函数的是否连续和导数是否存在是没有关系的...也就是说连续不一定可导,可导不一定连续..不能根据不连续推出不可导...和一元函数不同...

Answer 1

不连续，x=y趋于0时f(x,y)=1/2;
连续都不，偏导当然更不存在了。

对的，我失误了。
令y=0,x趋于零，则f(x,y)=0,即f(x,0)=0,从而关于x偏导数存在为0.就是这样。

Answer 2

偏导数存在必须从任意方向上都存在。

Answer 3

多元函数连续和可偏导没有必然关系
f'x(0,0)=lim[f(x,0)-f(0,0)]/x (x->0)
=lim(0-0)/x=0,同理f'y(0,0)=0,因此在(0,0)可偏导；
当f(x,y)从y=kx趋向原点时，极限为k/(k^2+1),
与k有关，因此极限不存在，在(0,0)处不连续