Question

在等边三角形ABC中 ，点P在线段AB上,满足向量AP=λ向量AB,若向量CP*向量AB=向量PA*向量PB,则实数λ的值是

要过程，谢谢

Answer 1

以BC的中点为原点，BC所在直线为x轴、BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，并使A落在y轴的正半轴上，C落在x轴的正半轴上。
利用赋值法，令｜AB｜＝｜BC｜＝｜AC｜＝2。
则A、B、C的坐标依次是A（0，√3）、B（－1，0）、C（1，0）。
∴向量AB＝（－1，－√3），向量CA＝（－1，√3）。

依题意，有：向量AP＝λ向量AB＝（－λ，－√3λ），
∴向量PB＝向量AB－向量AP＝（－1＋λ，－√3＋√3λ）。
∴向量CP＝向量CA＋向量AP＝（－1－λ，√3＋√3λ）。

依题意，还有：向量CP·向量AB＝向量PA·向量PB，∴向量CP·向量AB＝－向量AP·向量PB，
∴（1＋λ）＋（－√3）（√3＋√3λ）＝－（λ－λ^2）＋√3（－√3＋√3λ），
∴1＋λ－3－3λ＝－λ＋λ^2－3＋3λ，∴λ^2＋4λ－1＝0。

∵P在线段AB上，∴λ＞0，∴λ＝［－4＋√（16＋4）］/2＝－2＋√5＝√5－2。
即：满足条件的λ的值是√5－2。