在平面直角坐标系XOY中,直线l1过点A(1,0)且与y轴平行.
直线l2过点B(0,2)且与x轴平行.直线l1与直线l2相交于点P.点E为直线l2上一点,反比例函数(k>0)的图象过点E与直线l1相交于点F.问:是否存在点E及y轴上的...
直线l2过点B(0,2)且与x轴平行.直线l1与直线l2相交于点P.点E为直线l2上一点,反比例函数 (k>0)的图象过点E与直线l1相交于点F.问:是否存在点E及y轴上的点M,使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等?若存在,求E点坐标;若不存在,请说明理由
要具体过程,拜托啦后天要交了!! 展开
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存在
∵当反比例函数过点P时K=2,且此时以M、E、F为顶点不能构建三角形
∴分两种情况讨论
当k<2时,(作图,图我就不画了)由图可得
以M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等,只可能为△MEF≌△PEF,EF为公共边,作AC⊥y轴
易得△CHM∽△MBE,BM/FC=EM/CM
∵CH=1,EM=PE=1-k/2 ,CM=PE=2-k
∴BM=(1-k/2)/2-k,解得BM=1/2
∴据勾股定理得(1-k/2)²=(k/2)²+(1/2)²,解得k=3/4
∴此时y=3/4x , E坐标为(3/8,2)
当K>2时,(同样是作图)
由图可得,只能是△MEF≌△PEF,作PQ⊥y轴于D
同理得BM/FD=EM/FM
∵DF=1,EM=PF=k-2,FM=FE=k/2-1
∴BM=(k-2)/(k/2-1),解得BM=2
∴据勾股得 (k-2)²=(k/2)²+2² ,解得k1=0(舍去),k2=16/3
∴此时y=16/3x ,E坐标为(8/3,2)
综上所述,符合条件的E点坐标有 E1(3/8,2), E2(8/3,2)
∵当反比例函数过点P时K=2,且此时以M、E、F为顶点不能构建三角形
∴分两种情况讨论
当k<2时,(作图,图我就不画了)由图可得
以M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等,只可能为△MEF≌△PEF,EF为公共边,作AC⊥y轴
易得△CHM∽△MBE,BM/FC=EM/CM
∵CH=1,EM=PE=1-k/2 ,CM=PE=2-k
∴BM=(1-k/2)/2-k,解得BM=1/2
∴据勾股定理得(1-k/2)²=(k/2)²+(1/2)²,解得k=3/4
∴此时y=3/4x , E坐标为(3/8,2)
当K>2时,(同样是作图)
由图可得,只能是△MEF≌△PEF,作PQ⊥y轴于D
同理得BM/FD=EM/FM
∵DF=1,EM=PF=k-2,FM=FE=k/2-1
∴BM=(k-2)/(k/2-1),解得BM=2
∴据勾股得 (k-2)²=(k/2)²+2² ,解得k1=0(舍去),k2=16/3
∴此时y=16/3x ,E坐标为(8/3,2)
综上所述,符合条件的E点坐标有 E1(3/8,2), E2(8/3,2)
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存在
∵当反比例函数过点P时K=2,且此时以M、E、F为顶点不能构建三角形
∴分两种情况讨论
当k<2时,(作图,图我就不画了)由图可得
以M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等,只可能为△MEF≌△PEF,EF为公共边,作AC⊥y轴
易得△CHM∽△MBE,BM/FC=EM/CM
∵CH=1,EM=PE=1-k/2 ,CM=PE=2-k
∴BM=(1-k/2)/2-k,解得BM=1/2
∴据勾股定理得(1-k/2)²=(k/2)²+(1/2)²,解得k=3/4
∴此时y=3/4x , E坐标为(3/8,2)
当K>2时,(同样是作图)
由图可得,只能是△MEF≌△PEF,作PQ⊥y轴于D
同理得BM/FD=EM/FM
∵DF=1,EM=PF=k-2,FM=FE=k/2-1
∴BM=(k-2)/(k/2-1),解得BM=2
∴据勾股得 (k-2)²=(k/2)²+2² ,解得k1=0(舍去),k2=16/3
∴此时y=16/3x ,E坐标为(8/3,2)
综上所述,符合条件的E点坐标有 E1(3/8,2), E2(8/3,2)
∵当反比例函数过点P时K=2,且此时以M、E、F为顶点不能构建三角形
∴分两种情况讨论
当k<2时,(作图,图我就不画了)由图可得
以M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等,只可能为△MEF≌△PEF,EF为公共边,作AC⊥y轴
易得△CHM∽△MBE,BM/FC=EM/CM
∵CH=1,EM=PE=1-k/2 ,CM=PE=2-k
∴BM=(1-k/2)/2-k,解得BM=1/2
∴据勾股定理得(1-k/2)²=(k/2)²+(1/2)²,解得k=3/4
∴此时y=3/4x , E坐标为(3/8,2)
当K>2时,(同样是作图)
由图可得,只能是△MEF≌△PEF,作PQ⊥y轴于D
同理得BM/FD=EM/FM
∵DF=1,EM=PF=k-2,FM=FE=k/2-1
∴BM=(k-2)/(k/2-1),解得BM=2
∴据勾股得 (k-2)²=(k/2)²+2² ,解得k1=0(舍去),k2=16/3
∴此时y=16/3x ,E坐标为(8/3,2)
综上所述,符合条件的E点坐标有 E1(3/8,2), E2(8/3,2)
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(1)根据反比例函数中k=xy进行解答即可;
(2)当k>2时,点E、F分别在P点的右侧和上方,过E作x轴的垂线EC,垂足为C,过F作y轴的垂线FD,垂足为D,EC和FD相交于点G,则四边形OCGD为矩形,再求出S△FPE= 14k2-k+1,根据S△OEF=S矩形OCGD-S△DOF-S△EGF-S△OCE即可求出k的值,进而求出E点坐标;
(3)①当k<2时,只可能是△MEF≌△PEF,作FH⊥y轴于H,由△FHM∽△MBE可求出BM的值,再在Rt△MBE中,由勾股定理得,EM2=EB2+MB2,求出k的值,进而可得出E点坐标;
②当k>2时,只可能是△MFE≌△PEF,作FQ⊥y轴于Q,△FQM∽△MBE得,
BMFQ=
EMFM
,可求出BM的值,再在Rt△MBE中,由勾股定理得,EM2=EB2+MB2,求出k的值,进而可得出E点坐标.
解:(1)若点E与点P重合,则k=1×2=2;
(2)当k>2时,如图1,
点E、F分别在P点的右侧和上方,过E作x轴的垂线EC,垂足为C,过F作y轴的垂线FD,垂足为D,EC和FD相交于点G,则四边形OCGD为矩形,
∵PF⊥PE,
∴S△FPE=12PE•PF=12(k2-1)(k-2)=14k2-k+1,
∴四边形PFGE是矩形,
∴S△PFE=S△GEF,
∴S△OEF=S矩形OCGD-S△DOF-S△EGF-S△OCE=k2•k-k2-(14k2-k+1)-k2=14k2-1
∵S△OEF=2S△PEF,
∴14k2-1=2(14k2-k+1),
解得k=6或k=2,
∵k=2时,E、F重合,
∴k=6,
∴E点坐标为:(3,2);
(3)存在点E及y轴上的点M,使得△MEF≌△PEF,
①当k<2时,如图2,只可能是△MEF≌△PEF,作FH⊥y轴于H,
∵△FHM∽△MBE,
∴BMFH=EMFM,
∵FH=1,EM=PE=1-k2,FM=PF=2-k,
∴BM1=1-
k22-k,BM=12,
在Rt△MBE中,由勾股定理得,EM2=EB2+MB2,
∴(1-k2)2=(k2)2+(12)2,
解得k=34,此时E点坐标为(38,2),
②当k>2时,如图3,
只可能是△MFE≌△PEF,作FQ⊥y轴于Q,△FQM∽△MBE得,BMFQ=EMFM,
∵FQ=1,EM=PF=k-2,FM=PE=k2-1,
∴BM1=k-2k2-1,BM=2,
在Rt△MBE中,由勾股定理得,EM2=EB2+MB2,
∴(k-2)2=(k2)2+22,解得k=163或0,但k=0不符合题意,
∴k=163.
此时E点坐标为(83,2),
∴符合条件的E点坐标为(38,2)(83,2).点评:本题考查的是相似三角形的判定与性质,涉及到反比例函数的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理,解答此题的关键是根据题意作出辅助线,构造出相似三角形有关分数。。因为网页问题。。
(2)当k>2时,点E、F分别在P点的右侧和上方,过E作x轴的垂线EC,垂足为C,过F作y轴的垂线FD,垂足为D,EC和FD相交于点G,则四边形OCGD为矩形,再求出S△FPE= 14k2-k+1,根据S△OEF=S矩形OCGD-S△DOF-S△EGF-S△OCE即可求出k的值,进而求出E点坐标;
(3)①当k<2时,只可能是△MEF≌△PEF,作FH⊥y轴于H,由△FHM∽△MBE可求出BM的值,再在Rt△MBE中,由勾股定理得,EM2=EB2+MB2,求出k的值,进而可得出E点坐标;
②当k>2时,只可能是△MFE≌△PEF,作FQ⊥y轴于Q,△FQM∽△MBE得,
BMFQ=
EMFM
,可求出BM的值,再在Rt△MBE中,由勾股定理得,EM2=EB2+MB2,求出k的值,进而可得出E点坐标.
解:(1)若点E与点P重合,则k=1×2=2;
(2)当k>2时,如图1,
点E、F分别在P点的右侧和上方,过E作x轴的垂线EC,垂足为C,过F作y轴的垂线FD,垂足为D,EC和FD相交于点G,则四边形OCGD为矩形,
∵PF⊥PE,
∴S△FPE=12PE•PF=12(k2-1)(k-2)=14k2-k+1,
∴四边形PFGE是矩形,
∴S△PFE=S△GEF,
∴S△OEF=S矩形OCGD-S△DOF-S△EGF-S△OCE=k2•k-k2-(14k2-k+1)-k2=14k2-1
∵S△OEF=2S△PEF,
∴14k2-1=2(14k2-k+1),
解得k=6或k=2,
∵k=2时,E、F重合,
∴k=6,
∴E点坐标为:(3,2);
(3)存在点E及y轴上的点M,使得△MEF≌△PEF,
①当k<2时,如图2,只可能是△MEF≌△PEF,作FH⊥y轴于H,
∵△FHM∽△MBE,
∴BMFH=EMFM,
∵FH=1,EM=PE=1-k2,FM=PF=2-k,
∴BM1=1-
k22-k,BM=12,
在Rt△MBE中,由勾股定理得,EM2=EB2+MB2,
∴(1-k2)2=(k2)2+(12)2,
解得k=34,此时E点坐标为(38,2),
②当k>2时,如图3,
只可能是△MFE≌△PEF,作FQ⊥y轴于Q,△FQM∽△MBE得,BMFQ=EMFM,
∵FQ=1,EM=PF=k-2,FM=PE=k2-1,
∴BM1=k-2k2-1,BM=2,
在Rt△MBE中,由勾股定理得,EM2=EB2+MB2,
∴(k-2)2=(k2)2+22,解得k=163或0,但k=0不符合题意,
∴k=163.
此时E点坐标为(83,2),
∴符合条件的E点坐标为(38,2)(83,2).点评:本题考查的是相似三角形的判定与性质,涉及到反比例函数的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理,解答此题的关键是根据题意作出辅助线,构造出相似三角形有关分数。。因为网页问题。。
参考资料: http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/80f3faeb-c7df-46ef-b717-220339f209dd?a=1
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