Question

三角形ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列，求证B＜派／2

Answer 1

反正法
设B>=π/2则b>a且b>c
因为1/b<1/a 1/b<1/c
所以2/b<1/a+1/c与a,b,c的倒数成等差数列矛盾，
假设不成立，原命题得证。

Answer 2

三角形 a+c>b 题意 1/a+1/c=2/b 整理 a+c=2ac/b 即2ac>b^2
余玄定理 b^2=a^2+c^2-2ac cosB 得a^2+c^2<2ac(1+cosB)
一般 a^+c^2≧2ac
结合二式 知 1+cosB>1 即 cosB>0 cosB取正值
角B<π/2

Answer 3

用反证法。