Question

三角形的三边a,b,c的倒数成等差数列,求证B＜π/2

Answer 1

使用正弦定理
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

反证法：
若B>=π/2，那么B>A，且B>C，则sin(B) > sin(A),且sin(B) > sin(C)；
那么b>a，且b>c；
(1/b) < (1/a)，(1/b) < (1/c)，不符合题设等差序列的要求。
因此B<π/2

Answer 2

1/a+k=1/b=1/c-k
a/sinA=b/sinB=c/sinC=f
1/(fsinA)+k=1/(fsinB)=1/(fsinC)-k
(fsinA)/(1+fsinAk)=fsinB
sinB=sinA/(1+fsinAk)=sinC/(1-fsinCk)
A>0
f=2R>0
C>0
如果B>=π/2则不管公差如何，1+fsinAk或者1-fsinCk必有一个>1
这样sinA或者sinC就大于1。有很大一部分B由于靠近π/2和分母>1的缘故。
也都大于了1
而sinx<=1所以推出矛盾。假设严重错误。即B<π/2