Question

一道初三的二次函数题

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2-2x-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A(-1,0)，C (0，-3).
(1) 抛物线的顶点为M，求四边形OCMB的面积；
(2) D为抛物线上一个动点，且点D在第四象限内，是否存在点D，使四边形OCDB的面积最大？若存在，请求出点D的横坐标m；若不存在，请说明理由
(3) D为抛物线上一个动点，横坐标为m.过点D做x轴的垂线，与过点B、C的直线y= x-3相交于点P，与x轴交于点E.
①若点D在第四象限内，求PD的长d与m之间的函数关系式.
②当m>0时，是否存在一点D，使以点P、D、C、O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

解；1，y=x²-2x-3，与x轴交于A（-1,0）B（3.0），与y轴交于C（0，-3），顶点坐标M（1，-4），s四边形OCMB=s△OBM+s△OCM，=1/2OB.×4+1/2OC×1，因为OB=OC=3。所以s四边形OCMB=6。 2，设D（m,y)，（x＞0，y＜0）则s四边形OCDB=1/2OB(-y)+1/2OCx=3/2（m-y).,因为D在抛物线上，y=m²-2m-3,所以s四边形OCDB=-3/2（m²-3m-3)=-3/2(m-3/2)²+63/8.所以存在第四象限的点D使四边形OCDB的面积最大，D的横坐标为m=3/2... 3,(1)设D（m,n),因为DE⊥x轴，所以DE=-n=-m²+2m+3,,同理PE=3-m,PD=d=DE-PE=-m²+2m+3-3+m=-m²+3m. (2)显然PD∥OC，若四边形DPOC是平行四边形，只需PD=OC=3，即m²-3m+3=0,由于方程根的判别式值9-12=-3＜0，所以D不存在。

追问

应该存在D吧

追答

以上解的过程，除了四边形OCMB面积应为15/2，误为6外，我没能看出问题。要使四边形PDCO为平行四边形需要PD∥OC，题中已知条件以满足，只需PD=OC=3，但得到的方程m²-3m+3=0,的确无实数根。想不出D存在的理由。

追问

老师讲了，在坐标轴上有D

追答

你能把老师讲的主要解题过程传过来，让我学习学习吗？

追问

老师是课上讲的……
D的横坐标：m²+3m=3
m=（-3±√21）/2
∵m＞0
∴D的横坐标为（-3+√21）/2
注：D在第一象限是可以向x轴引垂线的（他没说D在第四象限）

追答

可以这样理解。你的认真使我很钦佩，祝你进步。