Question

2012 高三 数学 一摸 闵行区

13．如图，矩形OABC中，AB=1，OA=2，以B为圆心、BA为半径在矩形内部作弧，点P是弧上一动点， ，垂足为M， ，垂足为N，则四边形OMPN的周长的最小值为
看图

Answer 1

建立坐标系，
圆弧可表示为(x-1)2+(y-1)2=1,(0<=x<=1.0<=y<=1)
这题既然已经得到了(x-1)2+(y-1)2=1，
现在要求2(x+y)的最小值，不是很简单的吗．
方法一：三角换元，令x-1=cosθ，y-1=sinθ，0≤θ≤π/2，然后很快可以解决．
方法二：数形结合，设2（x+y）=t，即y=-x+t/2，那么t最小，也就是直线在y轴的截距t/2最小，
通过直线上下平移，很快可以看出．
方法三：基本不等式，
设1-x=a，1-y=b，那么（a+b）2=1+2ab，所以2（a+b）=2√(1+2ab)，又a2+b2=1≥2ab，得到ab的范围代入即可．
最后应该是≥4-2√2

追问

答案 6-2根号2 复查下 -0-

追答

也许吧，呵呵，我的答案不重要，你解对了最重要，方法掌握了就好，下次在遇到类似的也就不犯愁了

Answer 2

如果我如图，过P点分别做垂线PE、PF。当四边形PEBF的周长最大时，四边形ONPM的周长是最小值吧！那么能求出这时的PE、PF就可以了，NP=2-PF，MP=1-PE。

先设PE=x，PF=y

圆的半径为1，所以x^2+y^2=1，四边形PEBF的周长为C=2x+2y，

把y=根号（1-x^2）代入方程C=2x+2y，得

C=2x+2根号（1-x^2）

可以求导求出x等于几时C最大。根号的求导要用到三角函数吧？我不太记得了。这样做可行吗？？

追问

答案 好像6-2根号2 根号求导 用 a^1/2=1/2*a^(-1/2)