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已知:如图,△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,E,F分别在AC,BC上,且DE⊥DF.
已知:如图,△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,E,F分别在AC,BC上,且DE⊥DF.求证:AE²+BF²=EF².如图...
已知:如图,△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,E,F分别在AC,BC上,且DE⊥DF.求证:AE²+BF²=EF².
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证明:
作DG⊥BC于G,DH⊥AC于H
设AB=c,AC=b,BC=a,GF=x,
则:CD=AD=BD=c/2
DH=BG=CG=a/2,DG=AH=CH=b/2
△DEH~△DFG,EH=DH*FG/DG=a/2*x/(b/2)=ax/b
AE²+BF²=(AH-EH)²+(BG+GF)²=(b/2-ax/b)²+(a/2+x)²=b²+a²x²/b²+a²/4+x²
EF²=CE²+CF²=(CH+EH)²+(CG-GF)²=(b/2+ax/b)²+(a/2-x)²=b²+a²x²/b²+a²/4+x²
所以AE²+BF²=EF².
作DG⊥BC于G,DH⊥AC于H
设AB=c,AC=b,BC=a,GF=x,
则:CD=AD=BD=c/2
DH=BG=CG=a/2,DG=AH=CH=b/2
△DEH~△DFG,EH=DH*FG/DG=a/2*x/(b/2)=ax/b
AE²+BF²=(AH-EH)²+(BG+GF)²=(b/2-ax/b)²+(a/2+x)²=b²+a²x²/b²+a²/4+x²
EF²=CE²+CF²=(CH+EH)²+(CG-GF)²=(b/2+ax/b)²+(a/2-x)²=b²+a²x²/b²+a²/4+x²
所以AE²+BF²=EF².
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证明:过点A作AM∥BC,交FD延长线于点M,
连接EM.
∵AM∥BC,
∴∠MAE=∠ACB=90°,∠MAD=∠B.
∵AD=BD,∠ADM=∠BDF,
∴△ADM≌△BDF.
∴AM=BF,MD=DF.
又DE⊥DF,∴EF=EM.
∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2
连接EM.
∵AM∥BC,
∴∠MAE=∠ACB=90°,∠MAD=∠B.
∵AD=BD,∠ADM=∠BDF,
∴△ADM≌△BDF.
∴AM=BF,MD=DF.
又DE⊥DF,∴EF=EM.
∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2
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已知:如图,△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,E,F分别在AC,BC上,且DE⊥DF.
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