Question

证明对数不等式

证明不等式：㏒23＞㏒34

Answer 1

证明
[[1]]
构造函数
g(x)=x(lnx), (x≥2)
求导,可得
g'(x)=(lnx)+1,
易知,当x≥2时,恒有g'(x)＞0
∴在x≥2时,该函数递增.
∴恒有g(x+1)＞g(x), (x≥2)]
即恒有(xlnx)-(x+1)ln(x+1)＜0, (x≥2)
[[2]]
构造函数f(x)=logx(x+1), (x≥2) (底数为x, 真数为x+1 )
=[ln(x+1)]/(lnx) (换底公式,)
求导,可得
f'(x)={(xlnx)-(x+1)ln(x+1)}/[x(x+1)(ln²x)]
结合上面可知,恒有f'(x)＜0, (x≥2)
∴在x≥2时,函数f(x)=logx(x+1)递减
∴f(2)＞f(3)
即log2(3)＞log3(4)

Answer 2

log2(3)>log2(2√2)=3/2>√2，[log2(3)]^2>2。
log3(4)=log2(4)/log2(3)=2/log2(3)
log2(3)-log3(4)=log2(3)-2/log2(3)={[log2(3)]^2-2}/log2(3)>0
所以，log2(3)>log3(4)。