Question

已知函数f(x)=ax-ln(2x+1),其中a∈R 1，求函数f(x)的单调区间 2，函数f(x)的图像总是在直线

接2，y=2ax+1/2a的上方，求a的取值范围

Answer 1

1.定义域为x>-1/2.
f'(x)=a-1/(2x+1)=0,
a(2x+1)-1=0,
2ax=1-a,
a≠0时x1=(1-a)/(2a),
f'(x)=a[x-x1]/(x+1/2),x1+1/2=1/(2a),
a>0时x1>-1/2,-1/2<x<x1时f'(x)<0,f(x)↓;x>x1时f(x)↑。
a<0时x1<-1/2,x>-1/2时f(x)↓。
a=0时f(x）=-ln(2x+1),↓。
综上，a<=0时f(x)↓；a>0时-1/2<x<x1时f'(x)<0,f(x)↓;x>x1时f(x)↑。

2.依题意f(x)-(2ax+a/2)=-ax-a/2-ln(2x+1)>0（x>-1/2)恒成立，
a(2x+1)<-2ln(2x+1),
设t=2x+1,则t>0,
a<-2lnt/t,记为g(t），
g'(t)=-2(1-lnt)/t^2,
0<t<e时g'(t)<0,t>e时g'(t)>0,
g(t)|min=g(e)=-2/e,
∴a<-2/e.