Question

问一道数学的概率题。高手麻烦解答一下，谢谢啦。

一电梯，开始上升时有5人，且这5人等可能在8层楼任一层出电梯，求：（1）每层至多1人离开的概率。（2）至少有2人在同一层离开的概率。（3）仅有一层有2人离开的概率。

Answer 1

【为了更清楚查看公式，插入有图片，详解看插图】

此类题目为排列组合。

5人下完楼即事件完成，每人有8选择， 

（1） 每层至多1人离开的概率。

考虑到这5个人必定会这八层楼之间下去（客观问题），又为每层最多为一人，即5人分别在其中的5层楼分别下去，所以先从八层楼中选出五层楼 ，又此5人为不相同的，需要进行排列 

(2) 至少有2人在同一层离开的概率

①直接法：5人组合形式有

(1+1+1+1+1)(2+1+1+1)(2+2+1)(3+1+1)(3+2)(4+1)(5)

(1+1+1+1+1)不符合条件

(2+1+1+1)从5人中先选出2人在一起，剩余3人都是1个人，组合固定，再从8层楼中选出4层，下楼人不同，排列   

（2+2+1）从5人中先选出2人在一起，剩余3人再从中选出2人，剩余1人成固定组合， ，选择楼层 

（3+1+1）同理 

（3+2）同理 

（4+1）同理 

（5）8个楼层任选一层 

②间接法：由（1）和5人组合知事件A1和事件A2为互斥事件，所以

P2=1-P1

（2）仅有一层有2人离开的概率。满足条件的组合为（2+1+1+1）（3+2）

Answer 2

1） 5个人的下法有8^5种
每层至多一个人下，因此从8层中选5层，有C(8,5)种方法；
然后让这5个人一层有一个人下，下法有5！种；
所以每层至多1人离开的方法有C(8,5)*5！种
P(每层至多1人离开)=C(8,5)*5！/8^5=0.205
2）至少有2人在同一层离开是1）的对立事件，因此
P(至少有2人在同一层离开)=1-C(8,5)*5！/8^5=0.795
3）仅有一层有2人离开
选一层来让这两个下，有8种选法；
选2个人在这层下，有C(5,2)种放法；
其余3人如果是单独离开，从余下的7层中选3层，有C(7,3)种方法，3个人在这3层下有3！种方法；
如果是在一层离开，从从余下的7层中选1层，有7种方法
因此，仅有一层有2人离开的方法有8*C(5,2)*[C(7,3)*3！+7]种方法；
P(仅有一层有2人离开)=8*C(5,2)*[C(7,3)*3！+7] / 8^5 =0.5298

Answer 3

解:p=C(8,5)/8^5=56/8^5
2)p=1-56/8^5
3)p=C(5,2)C(8,1)C(7,3)/8^5

追问

不懂。高手能讲一下思路吗？

追答

1)要求每层之多1人可以理解为5人分别在5个楼层下，而每个人又可以在8层中任一层下
2)至少有2人在同一层离开可以理解为反面为没有2人在同一层离开，即1
3）仅有2人在同一层，先选2在8层中任一层下，其余3人在余下7层中3个楼层下

追问

书后的答案是（1）0.205（2）0.795（3）0.5298。但是没有过程。刚刚算了你所列的式子，答案和这个不同，估计中间有误。需要修改一下