问一道数学的概率题。高手麻烦解答一下,谢谢啦。
一电梯,开始上升时有5人,且这5人等可能在8层楼任一层出电梯,求:(1)每层至多1人离开的概率。(2)至少有2人在同一层离开的概率。(3)仅有一层有2人离开的概率。...
一电梯,开始上升时有5人,且这5人等可能在8层楼任一层出电梯,求:(1)每层至多1人离开的概率。(2)至少有2人在同一层离开的概率。(3)仅有一层有2人离开的概率。
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【为了更清楚查看公式,插入有图片,详解看插图】
此类题目为排列组合。
5人下完楼即事件完成,每人有8选择,
(1) 每层至多1人离开的概率。
考虑到这5个人必定会这八层楼之间下去(客观问题),又为每层最多为一人,即5人分别在其中的5层楼分别下去,所以先从八层楼中选出五层楼 ,又此5人为不相同的,需要进行排列
(2) 至少有2人在同一层离开的概率
①直接法:5人组合形式有
(1+1+1+1+1)(2+1+1+1)(2+2+1)(3+1+1)(3+2)(4+1)(5)
(1+1+1+1+1)不符合条件
(2+1+1+1)从5人中先选出2人在一起,剩余3人都是1个人,组合固定,再从8层楼中选出4层,下楼人不同,排列
(2+2+1)从5人中先选出2人在一起,剩余3人再从中选出2人,剩余1人成固定组合, ,选择楼层
(3+1+1)同理
(3+2)同理
(4+1)同理
(5)8个楼层任选一层
②间接法:由(1)和5人组合知事件A1和事件A2为互斥事件,所以
P2=1-P1
(2)仅有一层有2人离开的概率。满足条件的组合为(2+1+1+1)(3+2)
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1) 5个人的下法有8^5种
每层至多一个人下,因此从8层中选5层,有C(8,5)种方法;
然后让这5个人一层有一个人下,下法有5!种;
所以每层至多1人离开的方法有C(8,5)*5!种
P(每层至多1人离开)=C(8,5)*5!/8^5=0.205
2)至少有2人在同一层离开是1)的对立事件,因此
P(至少有2人在同一层离开)=1-C(8,5)*5!/8^5=0.795
3)仅有一层有2人离开
选一层来让这两个下,有8种选法;
选2个人在这层下,有C(5,2)种放法;
其余3人如果是单独离开,从余下的7层中选3层,有C(7,3)种方法,3个人在这3层下有3!种方法;
如果是在一层离开,从从余下的7层中选1层,有7种方法
因此,仅有一层有2人离开的方法有8*C(5,2)*[C(7,3)*3!+7]种方法;
P(仅有一层有2人离开)=8*C(5,2)*[C(7,3)*3!+7] / 8^5 =0.5298
每层至多一个人下,因此从8层中选5层,有C(8,5)种方法;
然后让这5个人一层有一个人下,下法有5!种;
所以每层至多1人离开的方法有C(8,5)*5!种
P(每层至多1人离开)=C(8,5)*5!/8^5=0.205
2)至少有2人在同一层离开是1)的对立事件,因此
P(至少有2人在同一层离开)=1-C(8,5)*5!/8^5=0.795
3)仅有一层有2人离开
选一层来让这两个下,有8种选法;
选2个人在这层下,有C(5,2)种放法;
其余3人如果是单独离开,从余下的7层中选3层,有C(7,3)种方法,3个人在这3层下有3!种方法;
如果是在一层离开,从从余下的7层中选1层,有7种方法
因此,仅有一层有2人离开的方法有8*C(5,2)*[C(7,3)*3!+7]种方法;
P(仅有一层有2人离开)=8*C(5,2)*[C(7,3)*3!+7] / 8^5 =0.5298
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解:p=C(8,5)/8^5=56/8^5
2)p=1-56/8^5
3)p=C(5,2)C(8,1)C(7,3)/8^5
2)p=1-56/8^5
3)p=C(5,2)C(8,1)C(7,3)/8^5
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追问
不懂。高手能讲一下思路吗?
追答
1)要求每层之多1人可以理解为5人分别在5个楼层下,而每个人又可以在8层中任一层下
2)至少有2人在同一层离开可以理解为反面为没有2人在同一层离开,即1
3)仅有2人在同一层,先选2在8层中任一层下,其余3人在余下7层中3个楼层下
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