Question

如图,PA是圆O的切线,A为切点,割线PBC通过圆心O过A作BC的垂线交于点D,过C作PA的垂线，交PA的延长线于点E,已

如图,PA是圆O的切线,A为切点,割线PBC通过圆心O过A作BC的垂线交于点D,过C作PA的垂线，交PA的延长线于点E,已知PD=4，AE=3，
（1）求PA的长
（2）求圆O的半径r

Answer 1

解：（1）连接OA、CA
∵PA为⊙O的切线
∴OA⊥PA，
∠OAP＝90°
∵CE⊥PA
∴∠PEC＝90°
∴∠OAP＝∠PEC
∴OA∥CE
∴∠ECA＝∠OAC
∵OA＝OC
∴∠OCA＝∠OAC
∴∠ECA＝∠OCA
∵AD⊥CD, PE⊥CE
∴AD=AE=3
在Rt△ADP中，由勾股定理，
有：PA²=PD²+AD²=4²+3²=25
∴PA=5
(2)∵∠ADP＝∠OAP＝90°
∠P＝∠P
∴△ADP∽△OAP
∴AP/OP=DP/AP
∴OP·PD=AP²
OP×4＝5²
OP＝25/4
∴OD＝OP-PD＝（25/4）-4＝9/4
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA²＝OD²+AD²＝(9/4)²+3²=225/16
∴OA=15/4
即r=15/4