Question

已知f(x)对任意实数a，b都有f（a+b)=f(a)+f(b)-1,且当x>0时，f（x）>1.求证：f（x）在R上的增函数

解答上面问题

Answer 1

证：设m>0，m、x∈R，则m+x>x，f(m)>1；
f（m+x)=f(m)+f(x)-1，
f（m+x)-f(x)=f(m)-1>0，
f（x）在R上的增函数。

Answer 2

因为f(0)=f(0 0)=f(0) f(0)-1
所以f(0)=1
因为f(0)=f(x-x)=f(x) f(-x)-1
所以f(-x)=2-f(x)
设a>b，则a-b>0
有f(a-b)=f(a) f(-b)-1=f(a) 2-f(b)-1=f(a)-f(b) 1
因为a-b>0，所以f(a-b)>1
因此，f(a-b)=f(a)-(b) 1>1
即f(a)-f(b)>0对任意的a>b属于R成立
所以f(x)是严格单调增函数
补充：若f(4)=5,解不等式f(log2(2x-1)<3
因为f(4)=5，所以f(2 2)=f(2) f(2)-1=5
即f(2)=3
因为f(x)严格单调增
所以f(log2(2x-1)<3=f(2)等价于log2(2x-1)<2
(log2(2x-1)我就理解成log2*(2x-1)，不是log[2(2x-1)]了)
因此，2x-1<2/log2=>x<log200/log4再化简化简
如果是log[2(2x-1)]，应该是x<51/2吧