Question

已知函数f(x)对任意实数a、b,都有f(a+b)f(a)+f(b)成立,且当x＞0时，f(X)＜0，f(1)=-2/3

1.求f(0)
2.判断函数f（X）的奇偶性，并证明
3.求证，函数f(x)在R上是减函数

Answer 1

是f(a+b)=f(a)+f(b)吧？
（1）令b=0，得：f(a)=f(a)+f(0)
易得：f(0)=0
（2）证：因为f(x)对任意的实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b)；
令b=-a，得：f(0)=f(a)+f(-a)，
由（1）知f(0)=0
即f(a)+f(-a)=0，即f(-a)=-f(a)
所以，f(x)是一个奇函数。
（3）证：令x1<x2∈R，则x2-x1>0
因为x>0时，f(x)<0
所以有：f(x2-x1)<0
x2=(x2-x1)+x1
所以：f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)
即：f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0
即：f(x1)>f(x2)
也就是说，当x1<x2∈R时，有f(x1)>f(x2)
所以，f(x)在R上是单调递减的。

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！O(∩_∩)O

追问

还差一个问，求函数f(X)在(-3,3)上的最大值和最小值，这里的小括号是中括号，再麻烦一下，我数学不好，都不会做，已经很晚了，麻烦大神了

追答

f(x)在R上是单调递减的。
所以，y=f(x)在区间[-3,3]上的最大值为f(-3)，最小值f(3)。

因为f(a+b)=f(a)+f(b)，f(1)=-2/3
所以：f(2)=f(1+1)=2f(1)=-4/3，
f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=-6/3=-2
由（1）知f(x)是一个奇函数，
所以：f(-3)=-f(3)=2
所以，y=f(x)在区间[-3,3]上的最大值为2，最小值为-2。