Question

过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线准线的交点为B，点A在抛物线

过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若AF=FB，BA*BC=48，则抛物线的方程为

Answer 1

由抛物线y²=2px（p＞0）知F(p/2,0)，准线方程为x=-p/2，
因为点B在准线上，所以点B的横坐标是-p/2，
又直线AB过点F，且AF=FB，所以点F是AB的中点，故点A的横坐标为3p/2，
由于点A在抛物线y²=2px上，且在第一象限，将x=3p/2代入，得y=√3p，
所以A(3p/2,√3p)，B(-p/2,-√3p)，
因为点A在抛物线准线上的射影为C，所以C(-p/2,√3p)，
向量BA=(2p,2√3p)，向量BC=(0,2√3p)
若向量BA*向量BC=48，即12P²=48，p=2(p>0)，
所以抛物线的方程为y²=4x。